«Квантик» - журнал для любознательных

Стартовал наш очередной конкурс 2019/2020 учебного года! Приглашаем всех присоединиться и попробовать свои силы!

Задачи конкурса печатаются в каждом номере. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик», научно-популярные книги, диски с увлекательными математическими мультфильмами.

Конкурс ориентирован на школьников 5-8 классов, но и младшеклассники могут присылать решения. Вносите решения задач III тура, с которыми справитесь, не позднее 1 декабря в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция kvan.tk/matkonkurs) или высылайте по электронной почте либо обычной почтой по адресу: 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.

Конкурс 2018/2019 учебного года окончен, поздравляем победителей! Задачи и результаты конкурсов прошлых лет: 2018-2019, 2017-2018, 2016-2017, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012.

Желаем успеха!

III тур

Задача 11. (Александр Перепечко)

Семь камней весом 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 тонн можно перевезти в нескольких грузовиках одинаковой грузоподъёмности. Хватит ли для перевозки четырёх таких грузовиков?

Иллюстрация

Задача 12. (Борис Френкин)

Петя и Вася тренируются на кольцевом велотреке: одновременно стартовали из одной и той же точки и едут с постоянными скоростями. Петя едет быстрее Васи. Когда Петя прошёл 16 кругов, он встретил в точке старта Васю. А когда Вася прошёл 16 кругов, он встретил в точке старта Петю. Верно ли, что Вася после каждого круга встречал в точке старта Петю?

Иллюстрация

Задача 13. (Александр Грибалко)

У Саши есть два клетчатых квадрата 7×7. Ему нужно разрезать их по линиям сетки на части так, чтобы частей получилось не более пяти и их можно было уложить в один слой в коробку 10×10. Есть ли способ выполнить это задание?

Иллюстрация

Задача 14. (Алексей Воропаев)

Квантик и Ноутик загадали по натуральному числу и сказали их Серёже. Серёжа в ответ назвал число 2020 и сказал, что это либо сумма, либо произведение услышанных им чисел. Ноутик подумал и сказал, что не знает, какое число загадал Квантик. Квантик услышал это, но всё равно не смог узнать, какое число загадал Ноутик. Какое число загадал Квантик?

Иллюстрация

Задача 15. (ученик 4 класса Петя Ким)

На каждой из сторон треугольника ABC выбраны красная и синяя точки так, что красная точка делит сторону в отношении 2 : 1, а синяя – в отношении 1 : 2 (если обходить треугольник по часовой стрелке). Через красные точки провели окружность, и через синие – тоже. Докажите, что отрезок, соединяющий центры этих окружностей, проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC.

Чертёж
Иллюстрация

II тур

Задача 6. (Григорий Гальперин)

Каких чисел, все цифры которых различны, больше: девятизначных или десятизначных?

Иллюстрация

Задача 7. (Григорий Гальперин)

У Квантика есть две квадратные шоколадки, первая – размером 10×10, вторая – размером 11×11. Чтобы разломать первую шоколадку на дольки 1×1, Квантику требуется 1 минута и 39 секунд. Какое время ему потребуется, чтобы разломать на дольки 1×1 вторую шоколадку? На каждый разлом Квантик тратит одно и то же время и за раз ломает какой-то один из имеющихся кусков на две части.

Иллюстрация

Задача 8. (Игорь Акулич)

Барон Мюнхгаузен рассказывал:
– Я сумел разрезать произвольный треугольник на две части, а потом каждую из них разрезал на 7 равных частей.
Могут ли слова барона быть правдой?

Иллюстрация

Задача 9. (Александр Перепечко)

Многогранник, изображённый на рисунке, называется октаэдром; у него 6 вершин, 8 треугольных граней и 12 рёбер. В каждой вершине октаэдра поместили лампочку и зажгли одну из них. Далее, за ход можно выбрать любую грань и изменить состояние (потушить, если горит, и зажечь, если не горит) всех лампочек на ней. Можно ли за несколько ходов зажечь все лампочки?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 10. (Игорь Акулич)

Возьмём любое натуральное число, например, 2019. Составим второе число, которое показывает, сколько и каких цифр (в порядке возрастания) содержит исходное число. Получится 10111219, что означает «один нуль, одна единица, одна двойка и одна девятка». На основе второго числа по тому же принципу образуем третье число 10511219, потом – четвёртое 1041121519, и т. д.
а) Квантик убеждён, что с какого бы числа ни начать, в получившейся последовательности какое-то число непременно встретится дважды. Ноутик считает, что не обязательно – возможна последовательность, в которой все числа различны. Кто прав?
б) Могут ли в такой последовательности встретиться два одинаковых числа подряд?

Иллюстрация

I тур

Задача 1. (Сергей Дворянинов)

Однажды Толик Втулкин должен был найти произведение двух чётных трёхзначных чисел. Он спешил и в записи одного числа пропустил наименьшую цифру, а в записи другого – наибольшую. В итоге он получил 323. Какие числа должен был перемножить Толик?

Иллюстрация

Задача 2. (Павел Кожевников)

Разрежьте клетчатую доску 12×12 на четыре одинаковых клетчатых многоугольника так, чтобы никакой клетчатый квадрат 2×2 не попал целиком ни в какой многоугольник.

Иллюстрация

Задача 3. (Павел Кожевников)

Вася хочет выбрать из набора 1, 2, 3, … , 50 как можно больше чисел так, чтобы любые два числа различались хотя бы на 4.
а) Сколько чисел выберет Вася?
б) Сколько способов у Васи сделать это?

Иллюстрация

Задача 4. (Михаил Евдокимов)

Два квадрата лежат на плоскости так, как показано на рисунке. Докажите, что центр одного квадрата лежит на диагонали другого.

Чертёж
Иллюстрация

Задача 5. (Юрий и Сергей Маркеловы)

Квантик загадал целое число от 0 до 99, а Ноутик его отгадывает. Число считается отгаданным, если Ноутик его назвал. За ход Ноутик называет четыре целых числа от 0 до 99, обладающих одним из двух свойств: либо первый разряд у всех чисел совпадает, а вторые разряды последовательные, либо второй разряд у всех чисел совпадает, а первые разряды последовательные (у однозначных чисел первый разряд считаем равным 0). Например, наборы 13, 14, 15, 16 и 3, 13, 23, 33 подходят, а набор 18, 19, 20, 21 – нет. За какое минимальное число ходов Ноутик может гарантированно отгадать число?

Иллюстрация