«Квантик» - журнал для любознательных

Конкурс окончен! Поздравляем победителей!

X (финальный) тур

Иллюстрация к туру

46. У Квантика есть 20 разноцветных шариков: жёлтых, зелёных, синих и красных. Из этих шариков 17 — не зелёные, 5 — красные, а 12 — не жёлтые. Сколько синих шариков у Квантика?

47. Однажды барон Мюнхгаузен сказал о своём маленьком племяннике: «Позавчера ему было 10 лет, а в будущем году исполнится 13». Как такое могло быть? Учтите, что барон Мюнхгаузен никогда не врёт!

48. В кружки буквы М, изображённой на рисунке, впишите по цифре от 1 до 9 так, чтобы все суммы из трёх чисел, стоящих по линиям буквы, были одинаковыми и наименьшими из возможных. Постарайтесь обосновать своё решение.

49. У Малыша и Карлсона есть много прямоугольных карточек, на каждой написано «6» или «+». Они сели за стол друг напротив друга и выложили наугад шесть карточек в один ровный ряд. Потом каждый точно подсчитал значение увиденного им выражения. Могло ли у Карлсона получиться ровно на 3000 больше? Перевёрнутый плюс выглядит как плюс, перевёрнутая шестёрка — как девятка. (Например, если один видит 69 + 9 + 6, то другой видит 9 + 6 + 69.)

50. Из точки А на рисунке можно «увидеть» (хотя бы частично) лишь пять из девяти квадратов — остальные четыре квадрата целиком загорожены этими пятью. А какое наибольшее число квадратов из этих девяти можно увидеть, выбирая другую точку обзора на той же плоскости?

IX ТУР

41. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число её цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

42. Произведение двух натуральных чисел равно 1000, однако ни одно из них не заканчивается на 0. Что это за числа?

43. Бумажный четырёхугольник разрезан двумя средними линиями (см. рис.). Нарисуйте, как из полученных четырёх частей сложить параллелограмм. (Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны.)

Чертёж

44. Решите ребус: (Напоминаем, что одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными — разные.)

Чертёж

45. Четыре девочки поют песни, играя друг друг по очереди. Каждый раз одна из них играет, а остальные три поют. Оказалось, что Аня спела больше всех песен — семь, а Маша спела меньше всех песен — четыре. Сколько всего песен исполнили девочки?

VIII ТУР

36. По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость лыжников упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?

37. В записи * 1 * 2 * 4 * 8 *16 * 32 * 64 = 101 вместо звёздочек поставьте знаки «+» или «–» так, чтобы равенство стало верным.

38. На вечеринку собрались семь человек, среди которых есть лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. После того, как все уселись за круглый стол, первый сказал второму: «Ты лжец». Услышав это, второй назвал лжецом третьего, третий – четвёртого, четвёртый – пятого, пятый – шестого, шестой – седьмого. А кем назвал седьмой первого?

39. Гриша и Коля играют в такую игру. На горизонтальной плоскости вырезаны два круглых отверстия – бильярдные лузы.
Гриша отмечает точку A вне луз, Коля ставит в A точечный бильярдный шарик и проводит через A любую прямую, какую захочет.
Затем Гриша ударяет по шарику вдоль проведённой прямой в любом из двух направлений. Если Гриша попадет в лузу – он выиграл, если не попадет – выиграл Коля. Может ли Гриша действовать так, чтобы заведомо выиграть, как бы ни играл Коля?

40. В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В некоторые из меньших шкатулок положили по 10 шкатулок ещё поменьше. В некоторые из самых маленьких шкатулок положили по 10 шкатулок еще поменьше, и так далее. В конце концов, оказалось ровно 222 шкатулки с содержимым. А сколько пустых шкатулок?

VII ТУР

31. Из утверждений «число N делится на 2», «число N делится на 4», «число N делится на 12» и «число N делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое?

32. Из 27 кубиков 1 x 1 x 1 склеили кубик 3 x 3 x 3. Для склеивания каждой пары граней у двух соседних кубиков потратили одну капельку клея. Сколько всего капелек было израсходовано?

33. Прямая l не пересекает прямоугольник ABCD (см. рисунок). Расстояния от точек A, B и C до прямой l равны 4 см, 1 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние от точки D до прямой l.

34. Есть 1 золотая, 3 серебряных и 5 бронзовых медалей. Известно, что одна из них фальшивая: легче настоящей. Настоящие медали из одного металла весят одинаково (а из разных — не одинаково). Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую медаль?

35. Перед вами последовательность чисел, начинающаяся с 1. Каждое следующее число образовано из предыдущего по очень простому правилу.
1,
11,
21,
1211,
111221,
312211,
13112221,
1113213211,
31131211131221, …
Попробуйте понять, что это за правило, и напишите следующее число последовательности.
Эту замечательную последовательность придумал известный математик Джон Конвей.

VI тур конкурса

26. Одну сторону прямоугольника удлинили на 10%, а другую – укоротили на 10%. Можно ли наверняка сказать, что именно произошло с площадью прямоугольника – увеличилась она, уменьшилась или не изменилась?

27. Можно ли между каждыми двумя соседними цифрами числа 22222222 поставить один из знаков «+», «–», «·» и «:», а потом расставить скобки так, чтобы полученное выражение равнялось 100?

28. Имеются 3 мешочка, в каждом по 100 монеток. В одном из них все монетки весят по 9,9 г, во втором – по 10 г, в третьем – по 10,1 г. Гриша хочет определить, где какой мешочек, при помощи весов, которые умеют определять вес положенного на них груза, но ломаются от веса 50 г и больше. Как ему это сделать за одно взвешивание, не ломая весы?

29. У пиратов А, Б и В состоялся такой разговор:
А: «У Б – 2 глаза».
Б: «У В – 2 глаза».
В: «У А – 2 глаза».
А: «У нас 2 глаза на троих».
Б: «У нас 3 глаза на троих».
В: «У нас 4 глаза на троих».
Оказалось, что каждый соврал столько раз, сколько у него глаз. Сколько глаз у каждого из пиратов?

30.

Льюис Кэрролл как-то предложил такую задачу. Надо нарисовать следующую конфигурацию, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию. При этом дополнительно требовалось, чтобы в процессе рисования никакие линии не пересекались.

Попробуйте решить задачу Кэрролла, а когда сумеете, попытайтесь решить противоположную задачу: нарисовать ту же конфигурацию так, чтобы, наоборот, произошло максимальное возможное число пересечений. Каково это максимальное число?

V тур конкурса

21. В пустой аквариум налили воды и положили на дно одинаковые стеклянные шарики. Если вынуть половину всех шариков, то уровень воды в аквариуме понизится на одну треть. На какую часть (от нового уровня) понизится уровень воды, если вынуть половину оставшихся шариков?

22. На шахматной доске 8x8 расставили ладьи так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали находится ровно одна ладья. Доску разбили на четыре равных квадрата. Обязательно ли число ладей в правом верхнем квадрате равно числу ладей в левом нижнем квадрате?

23. Когда поезд московского метро из подземного тоннеля выезжает на мост через Москву-реку, в вагоне становится заметно тише. Толя Втулкин, знакомый Квантика, говорит, что это машинист поезда специально уменьшает шум, чтобы он не мешал жителям близлежащих домов. Прав ли Толик?

24. Петя задумал двузначное число, мы его отгадываем. Для этого мы пишем на доске разные двузнач­ные числа, а Петя каждый раз ставит около написанного числа «+», если оно совпало с задуманным, и «–», если оно совпало с задуманным лишь в одном из разрядов (иначе ничего не ставит). Как наверняка отгадать Петино число, написав не более 10 чисел?

25. Какой угол образовывали часовая и минутная стрелки, если через 20 минут они образовывали такой же угол?

IV тур конкурса

16. По углам квадратного пруда стоят четыре столба. Как расширить его, не убирая столбов, чтобы площадь увеличилась в два раза, а форма осталась квадратной? Столбы должны остаться на суше.

17. Ежедневно в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход, и в это же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

18.

В ящике лежат четыре шара, каждый из которых белый или чёрный. Требуется угадать, сколько каких шаров в ящике. За одну попытку разрешается, не заглядывая в ящик, наугад вынуть два шара, посмотреть на них и положить обратно (после чего шары перемешиваются). Сделали 100 попыток, и ровно в 50 из них вынимали два черных шара.

Как Вы думаете, сколько каких шаров в ящике (скорее всего) и почему?

19.

Расшифруйте ребус:

(Каждая буква заменена какой-то цифрой, одинаковые буквы заменены одинаковыми цифрами, а разные – разными.)

Чертёж

20. Некое секретное здание состоит из большого числа одинаковых с виду комнат, соединённых коридорами по кругу, в каждой есть люстра и выключатель. Шпион оказался в одной из комнат. Как ему определить количество комнат в здании, если он может ходить по зданию и включать и выключать свет? Изначально где-то свет уже горел, а где-то – нет, но где именно – шпиону заранее неизвестно.

III тур конкурса

11. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон три ломтика хлеба, если на сковороде умещаются только два ломтика, а на поджаривание ломтика с одной стороны требуется одна минута? Время на перевёртывание и перекладывание ломтиков не учитывайте.

12.

Расшифруйте ребус:

(Каждая буква заменена какой-то цифрой, одинаковые буквы (то есть две буквы К) заменены одинаковыми цифрами, а разные – разными.)

Чертёж

13. На шахматной доске стоят несколько ферзей. Каждый из них бьет ровно N других.
а) Найдите пример такой расстановки для N = 1, для N = 2 и для N = 3.
б) Найдите пример такой расстановки для N = 4.
в) Есть ли такая расстановка хоть для какого-то N, большего 4?
(Напоминаем, что ферзь бьет по вертикали, горизонтали и диагонали на любое число клеток.)

14. Квантик шёл по прямой дороге от одной автобусной остановки к другой. Пройдя треть пути, он оглянулся и увидел вдалеке приближающийся автобус. Известно, что, к какой бы остановке ни побежал Квантик, он достигнет ее одновременно с автобусом. Найдите скорость автобуса, если Квантик бегает со скоростью 20 км/ч.

15. Король Артур заказал художнику рисунок для своего щита, имеющего форму четверти круга, с просьбой окрасить его в три цвета: желтый – цвет доброты, красный – храбрости и синий – мудрости. Когда художник принес рисунок, оруженосец сказал, что на рисунке храбрости больше, чем ума. Однако художник смог доказать, что там того и другого поровну. Докажите и вы!

II тур конкурса

6. В 2010-м году в школе № 1 доля мальчиков равнялась 50%, а в школе № 2 – 80%. В 2011-м году в каждой из школ доля мальчиков не изменилась, однако в двух школах вместе доля мальчиков стала больше чем в 2010 году. Приведите пример, как такое могло произойти.

7. Две каменные лестницы одинаковой высоты 1 м и с одинаковым основанием длины 2 м покрыты ковровыми дорожками. У первой лестницы 7 ступенек, а у второй – 9 (см. рисунок). Хватит ли дорожки, покрывающей первую лестницу, для покрытия второй?

8.

В слове КВАНТИК каждую букву заменили некоторой цифрой. Причём одинаковые буквы (то есть две буквы К) были заменены одинаковыми цифрами, а разные – разными. При этом оказалось, что выполняется следующее равенство:

Чему равно число КВАНТИК?

9. Можно ли так расставить фишки на клетках доски 8x8 (в каждой клетке – не более одной фишки), чтобы на любых двух вертикалях фишек было поровну, а на любых двух горизонталях – не поровну?

10.

Аптечный парадокс
– Купил я недавно новенькие двухчашечные аптечные весы с набором гирь и разновесок, – рассказывал один аптекарь другому. – Взвесил на них пузырёк с микстурой, и выяснилось, что он весит 50 граммов. А когда взвесил сразу два таких же пузырька, их вес составил 64 грамма.
– Как же так? – удивился собеседник.
– Всё очень просто! Весы оказались неравноплечими…
Сколько же на самом деле весит пузырёк с микстурой?

Подсказка. неравноплечие весы увеличивают вес на одной из чашек относительно другой в одно и то же число раз (равное отношению длин плеч весов).

I тур конкурса

1. Старушка поднялась с 1-го этажа на 5-й за пять минут. За сколько минут она поднимется с 1-го этажа на 9-й, если будет идти с той же скоростью?

2.

Перед вами стишок о мышке и кошке (слева) и его перевод (построчный) на язык племени Ам-Ям (справа):

Мышка ночью пошла гулять. Кошка ночью видит – мышка! Мышку кошка пошла поймать. Ам ту му ям. Ту ля бу ам! Гу ля ту ям.

Составьте по ним фрагмент русско-ам-ямского словаря (то есть укажите перевод каждого слова из стишка).

3.

В слове КВАНТИК каждую букву заменили некоторой цифрой. Одинаковые буквы (то есть две буквы К) были заменены одинаковыми цифрами, а разные – разными. Оказалось, что выполняется равенство

Найдите произведение цифр числа КВАНТИК.

4. На рисунке показано, как можно наложить друг на друга два треугольника, чтобы получился пятиугольник. А для каких еще чисел N можно получить N-угольник наложением (или приложением) двух треугольников? Найдите как можно больше таких N, все ответы подтвердите рисунками (для каждого примера можно заново выбирать треугольники).

5. На столе в двух стопках лежат 10 томов собрания сочинений Чехова. Квантик подходит к любой стопке, снимает сверху несколько книг и кладёт их на другую стопку. Как ему за 19 таких операций (или меньше) расположить все тома в одной стопке по порядку номеров (снизу 1-й, затем 2-й и так далее)?